Внимание, внимание!

Приглашаем старшеклассников проверить свои силы и решить несколько математических задач. Ответы с подробными решениями заданий необходимо отправить до 18.03 (включительно)! Викторина окончена!

Задача № 1. В некотором государстве, в котором всего 10 городов, включая столицу, сеть дорог устроена так: все города стоят на кольце; столица соединена отдельными ветками с каждым из городов, кроме соседей по кольцу. Правительство разбило сеть дорог на участки между соседними городами и постановило разделить эти участки между двумя компаниями так, чтобы можно было проехать между любыми двумя городами как по дорогам только первой компании, так и по дорогам только второй компании. Можно ли выполнить это постановление?

Задача № 2. Имеется 19 гирек весом 1 г, 2 г, 3 г, ..., 19 г. Девять из них – железные, девять – бронзовые и одна – золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше, чем общий вес бронзовых. Найдите вес золотой гирьки.

Задача № 3. В ящик положили лимоны. В первую очередь из него взяли половину лимона и половину всех лимонов, а немного позже – еще половину лимона и половину того, что осталось. В конце достали еще половину лимона и половину того, что осталось. В результате в ящике остался лежать 31 лимон. Вопрос: сколько изначально в ящике было лимонов?

Задача № 4. Саша и его мама в один день празднуют свой день рождения. На данный момент мама старше Саши в 11 раз. Через 6 лет мама будет старше сына всего в 5 раз, а через 10 лет всего в 3 раза. После того, как пройдет 36 лет (начиная с сегодняшнего дня) мама буде старше сына только в 2 раза. Вопрос: сколько лет на сегодняшний день исполняется Саше?

Задача № 5. В прямоугольнике 5 х 6 закрашено 19 клеток. Докажите, что в нем можно выбрать квадрат 2 х 2, в котором закрашено не менее трех клеток.

Задача № 6. В восьми корзинах лежали яблоки трех сортов: антоновка, джонатан и ранет, причем в каждой корзине – яблоки только одного сорта. В первой корзине лежало 20 яблок, во второй – 24, в третьей – 28, в четвертой – 32, в пятой – 36, в шестой – 40, в седьмой – 44, в восьмой – 48. После того как продали корзину ранета, яблок этого сорта осталось вдвое больше, чем антоновки, но вдвое меньше, чем джонатана. В каких корзинах лежала антоновка, а в каких ранет?